Контрольно-измерительные материалы. Алгебра и начала анализа: 10 класс / Сост. А.Н. Рурукин. - М.: ВАКО, 2011. - 112 с. - (Контрольно-измерительные материалы).
В пособии представлены контрольно-измерительные материалы (КИМы) по алгебре и началам анализа для 10 класса: тесты в формате заданий ЕГЭ, а также самостоятельные и контрольные работы по всем изучаемым темам. Ко всем заданиям приведены ответы. Предлагаемый материал позволяет проводить проверку знаний, используя различные формы контроля.
Издание ориентировано на учителей, школьников и их родителей.
Содержание
От составителя........................................ 3
Требования к уровню подготовки учащихся.............. 4
Выполнение заданий и их оценивание................... 4
Тест 1. Функция. Область определения и область значений функции............... 6
Тест 2. Основные свойства функции..................... 8
Тест 3. Графики функций..........................................................10
Тест 4. Обобщение темы «Числовые функции и их свойства».....................12
Тест 5. Значения тригонометрических выражений................16
Тест 6. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.................18
Тест 7. Функции у = sinx и у = cosx..........................................20
Тест 8. Функции у = tgx и у = ctgx............................................22
Тест 9. Обобщение темы «Тригонометрические функции» ... 24
Тест 10. Арккосинус и арксинус. Решение уравнений cosx = а и sinx = а...........28
Тест 11. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = а и ctgx = а...........30

Тест 12. Простейшие уравнения и неравенства......................32
Тест 13. Обобщение темы «Тригонометрические уравнения».........................34
Тест 14. Функции суммы и разности аргументов..................38
Тест 15. Формулы двойного аргумента....................................40
Тест 16. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения..............42
Тест 17. Преобразование тригонометрических выражений... 44
Тест 18. Тригонометрические уравнения, системы уравнений, неравенства...............46
Тест 19. Обобщение темы «Преобразование тригонометрических выражений»..................48
Тест 20. Предел последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии........52
Тест 21. Предел функции. Определение производной.... 54
Тест 22. Вычисление производных............................................56
Тест 23. Уравнение касательной к графику функции............58
Тест 24. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы....60
Тест 25. Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин....62
Тест 26. Обобщение темы «Производная»..............................64
Тест 27. Итоговый по программе 10 класса............................68

Уроки 1-2. Определение числовой функции и способы ее задания

Цель: обсудить определение функции, способы ее задания.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение материала 9 класса

Различные аспекты этой темы уже рассматривались в 7-9 классах. Теперь необходимо расширить и обобщить сведения о функциях. Напомним, что тема является одной из важнейших для всего курса математики. Различные функции будут изучаться вплоть до окончания школы и далее в высших учебных заведениях. Данная тема вплотную связана с решением уравнений, неравенств, текстовыми задачами, прогрессиями и т. д.

Определение 1. Пусть даны два множества действительных чисел D и Е и указан закон f по которому каждому числу х ∈ D ставится в соответствие единственное числом y ∈ Е (см. рисунок). Тогда говорят, что задана функция у = f (x ) или у(х) с областью определения (О.О.) D и областью изменения (О.И.) Е. При этом величину х называют независимой переменной (или аргументом функции), величину у - зависимой переменной (или значением функции).

Область определения функции f обозначают D (f ). Множество, состоящее из всех чисел f (x ) (область значений функции f ), обозначают E (f ).

Пример 1

Рассмотрим функцию Для нахождения у для каждого значения х необходимо выполнить следующие операции: из величины х вычесть число 2 (х - 2), извлечь квадратный корень из этого выражения и, наконец, прибавить число 3 Совокупность этих операций (или закон, по которому для каждого значения х ищется величина у) и называется функцией у(х). Например, для х = 6 находим Таким образом, для вычисления функции у в данной точке х необходимо подставить эту величину х в данную функцию у(х).

Очевидно, что для данной функции для любого допустимого числа х можно найти только одно значение у (т. е. каждому значению х соответствует одно значение у).

Рассмотрим теперь область определения и область изменения этой функции. Извлечь квадратный корень из выражения (х - 2) можно, только если эта величина неотрицательная, т. е. х - 2 ≥ 0 или х ≥ 2. Находим Так как по определению арифметического корня то прибавим ко всем частям этого неравенства число 3, получим: или 3 ≤ у < +∞. Находим

В математике часто используются рациональные функции. При этом функции вида f (x ) = р(х) (где р(х) - многочлен) называют целыми рациональными функциями. Функции вида (где р(х) и q (x ) - многочлены) называют дробно-рациональными функциями. Очевидно, дробь определена, если знаменатель q (x ) не обращается в нуль. Поэтому область определения дробно-рациональной функции - множество всех действительных чисел, из которого исключены корни многочлена q (x ).

Пример 2

Рациональная функция определена при х - 2 ≠ 0, т. е. x ≠ 2. Поэтому область определения данной функции - множество всех не равных 2 действительных чисел, т. е. объединение интервалов (-∞; 2) и (2; ∞).

Напомним, что объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств А или В. Объединение множеств А к В обозначается символом А U В. Так, объединением отрезков и (3; 9) является промежуток (непересекающиеся промежутки) обозначают .

Возвращаясь к примеру, можно записать: Так как при всех допустимых значениях х дробь не обращается в нуль, то функция f (x ) принимает все значения, кроме 3. Поэтому

Пример 3

Найдем область определения дробно-рациональной функции

Знаменатели дробей обращаются в нуль при х = 2, х = 1 и х = -3. Поэтому область определения данной функции

Пример 4

Зависимость уже не является функцией. Действительно, если мы хотим вычислить значение у, например, для х = 1, то, пользуясь верхней формулой, найдем: у = 2 · 1 - 3 = -1, а пользуясь нижней формулой, получим: у = 12 + 1 = 2. Таким образом, одному значению x (x = 1) соответствуют два значения у (у = -1 и у = 2). Поэтому эта зависимость (по определению) не является функцией.

Пример 5

Приведены графики двух зависимостей y (x ). Определим, какая из них является функцией.

На рис. а приведен график функции, так как любой точке x 0 соответствует только одно значение у0. На рис. б приведен график какой- то зависимости (но не функции), так как существуют такие точки (например, x 0 ), которым отвечает более одного значения у (например, у1 и у2).

Рассмотрим теперь основные способы задания функций.

1) Аналитический (с помощью формулы или формул).

Пример 6

Рассмотрим функции:

Несмотря на непривычную форму, это соотношение также задает функцию. Для любого значения х легко найти величину у. Например, для х = -0,37 (так как х < 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х > 0, то пользуемся нижним выражением) имеем: Из способа нахождения у понятно, что любой величине х отвечает только одно значение у.

в) 3х + у = 2у - х2. Выразим из этого соотношения величину у: 3х + х2 = 2у - у или х2 + 3х = у. Таким образом, это соотношение также задает функцию у = х2 + 3х.

2) Табличный

Пример 7

Выпишем таблицу квадратов у для чисел х.

Данные таблицы также задают функцию - для каждого (приведенного в таблице) значения х можно найти единственное значение у. Например, у(1,5) = 2,25, y (5) = 25 и т. д.

3) Графический

В прямоугольной системе координат для изображения функциональной зависимости у(х) удобно пользоваться специальным рисунком - графиком функции.

Определение 2. Графиком функции y (x ) называют множество всех точек системы координат, абсциссы которых равны значениям независимой переменной х, а ординаты - соответствующим значениям зависимой переменной у.

В силу такого определения все пары точек (х0, у0), которые удовлетворяют функциональной зависимости у(х), расположены на графике функции. Любые другие пары точек, не удовлетворяющие зависимости y (x ), на графике функции не лежат.

Пример 8

Дана функция Принадлежит ли графику этой функции точка с координатами: а) (-2; -6); б) (-3; -10)?

1. Найдем значение функции у при Так как у(-2) = -6, то точка А (-2; -6) принадлежит графику данной функции.

2. Определим значение функции у при Так как y (-3) = -11, то точка В (-3; -10) не принадлежит графику этой функции.

По данному графику функции у = f (x ) легко найти область определения D (f ) и область значений E (f ) функции. Для этого точки графика проецируют на оси координат. Тогда абсциссы этих точек образуют область определения D (f ), ординаты - область значений E (f ).

Сравним различные способы задания функции. Наиболее полным следует считать аналитический способ. Он позволяет составить таблицу значений функции для некоторых значений аргументов, построить график функции, провести необходимое исследование функции. Вместе с тем табличный способ позволяет быстро и легко найти значение функции для некоторых значений аргумента. График функции наглядно показывает ее поведение. Поэтому противопоставлять различные способы задания функции не следует каждый из них имеет свои преимущества и свои недостатки. На практике используются все три способа задания функции.

Пример 9

Дана функция у = 2х2 - 3х +1.

Найдем: а) y (2); б) y (-3х); в) у(х + 1).

Для того чтобы найти значение функции при каком-то значении аргумента, необходимо подставить это значение аргумента в аналитический вид функции. Поэтому получим:

Пример 10

Известно, что у(3 - х) = 2х2 - 4. Найдем: а) y (x ); б) у(-2).

а) Обозначим буквой z = 3-х, тогда х = 3 - z . Подставим это значение х в аналитический вид данной функции у(3 - х) = 2х2 - 4 и получим: y (3 - (3 - z )) = 2 · (3 - z )2 - 4, или y (z ) = 2 · (3 - z )2 - 4, или y (z ) = 2 · (9 - 6 z + z 2 ) - 4, или y (z ) = 2х2 - 12 z + 14. Так как безразлично, какой буквой обозначен аргумент функции - z , х, t или любой другой, то сразу получим: у(х) = 2х2 - 12х + 14;

б) Теперь легко найти у(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.

Пример 11

Известно, что Найдем х(у).

Обозначим буквой z = x - 2, тогда х = z + 2, и запишем условие задачи: или To же условие запишем для аргумента (- z ): Для удобства введем новые переменные a = y (z ) и b = y (- z ). Для таких переменных получим систему линейных уравнений

Нас интересует неизвестная a .

Для ее нахождения используем способ алгебраического сложения. Поэтому умножим первое уравнение на число (-2), второе уравнение - на число 3. Получим:

Сложим эти уравнения: откуда Так как аргумент функции можно обозначать любой буквой, то имеем:

В заключение заметим, что к концу 9 класса были изучены свойства и графики:

а) линейной функции у = кх + m (график - прямая линия);

б) квадратичной функции у = ах2 + b х + с (график - парабола);

в) дробно-линейной функции (график - гипербола), в частности функции

г) степенной функции у = ха (в частности, функции

д) функции у = |х|.

Для дальнейшего изучения материала рекомендуем повторить свойства и графики указанных функций. На следующих занятиях будут рассмотрены основные способы преобразования графиков.

1. Дайте определение числовой функции.

2. Расскажите о способах задания функции.

3. Что называется объединением множеств А и B ?

4. Какие функции называются целыми рациональными?

5. Какие функции называются дробно-рациональными? Как находится область определения таких функций?

6. Что называют графиком функции f (х)?

7. Приведите свойства и графики основных функций.

IV. Задание на уроках

§ 1, № 1 (а, г); 2 (в, г); 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 6 (в); 7 (а, б); 8 (в, г); 10 (a ); 13 (в, г); 16 (а, б); 18.

V. Задание на дом

§ 1, № 1 (б, в); 2 (а, б); 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 6 (г); 7 (в, г); 8 (а, б); 10 (б); 13 (а, б); 16 (в, г); 19.

VI. Творческие задания

1. Найдите функцию у = f (х), если:

Ответы:

2. Найдите функцию у = f (x ) если:

Ответы:

VII. Подведение итогов уроков

Обладают многими свойствами:

1. Функция называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает

2. Функция называется возрастающей на некотором промежутке А, если для любых чисел их множества А выполняется условие:.

График возрастающей функции обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика увеличиваются (рис. 4).

3. Функция называется убывающей на некотором промежутке А , если для любых чисел их множества А выполняется условие:.

График убывающей функции обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика уменьшаются (рис. 4).

4. Функция называется четной на некотором множестве Х, если выполняется условие:.

График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 2).

5. Функция называется нечетной на некотором множестве Х, если выполняется условие:.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 2).

6. Если функция у = f(x)
f(x) f(x) ,то говорят, что функция у = f(x) принимает наименьшее значение у = f(x) при х = x (рис. 2, функция принимает наименьшее значение в точке с координатами (0;0)).

7. Если функция у = f(x) определена на множестве Х и существует такое , что для любого справедливо неравенство f(x) f(x) ,то говорят, что функция у = f(x) принимает наибольшее значение у = f(x) при х = x (рис. 4, функция не имеет наибольшего и наименьшего значений).

Если для данной функции у = f(x) изучены все перечисленные свойства, то говорят, что проведено исследование функции.

n1.doc

ОГОУ СПО Рязанский педагогический колледж

РЕФЕРАТ

Тема: «Числовые функции и их свойства. Прямая и обратная пропорциональные зависимости»

Титова Елена Владимировна

Специальность: 050709 «Преподавание в начальных классах с дополнительной подготовкой в области предшкольного образования»

Курс: 1 Группа: 2

Отделение: школьное

Руководитель: Приступлюк Ольга Николаевна
Рязань

Введение…………………………………………………………………3
Теоретическая часть

1. 
   Числовые функции

1.2 Способы задания функций……………………………………………….6
1.3 Свойства функции …………………………………………………………7
2. Прямая и обратная пропорциональные зависимости

2.1 Понятие прямой пропорциональной зависимости………………..9
2.2 Свойства прямой пропорциональной зависимости…………………………………………….10
2.3 Понятие обратной пропорциональной зависимости и её свойства………………………………………………………………-
Практическая часть

3.1 Функциональная пропедевтика в начальном курсе математики….11

3.2 Решение задач на пропорционально зависимые величины……18
Заключение……………………………………………………….......21

Список используемой литературы………………………………..22

Введение

В математике идея функции появилась вместе с понятием величины. Она была тесно связано с геометрическими и механическими представлениями. Термин функция (с лат.– исполнение) впервые ввёл Лейбниц в 1694г. Под функцией он понимал абсциссы, ординаты и другие отрезки, связанные с точкой, описывающей некоторую линию.
В первой половине XVIII в. произошёл переход от наглядного представления понятия функции к аналитическому определению. Швейцарский математик Иоганн Бернулли, а, затем, и академик Леонард Эйлер считали, что функция-

Это аналитическое выражение, составленное из переменной величины и постоянной.

Иначе говоря, функция выражается различного вида формулами: y=ax+b , y= =axІ+bx+c и др.
Сегодня мы знаем, что функция может выражаться не только математическим языком, но и графически. Первооткрывателем этого метода был Декарт. Это открытие сыграло огромную роль в дальнейшем развитии математики: осуществился переход от точек к числам, от линий к уравнениям, от геометрии к алгебре. Таким образом, стало возможным находить общие приёмы для решения задач.
С другой стороны, благодаря методу координат стало возможным изображать геометрически различные зависимости.
Таким образом, графики дают наглядное представление о характере зависимости между величинами, они часто применяются в различных областях науки и техники.

Основные тенденции развития современного школьного образования находят свое выражение в идеях гуманизации, гуманитаризации, деятельностного и личностно-ориентированного подхода к организации учебного процесса.

В основе обучения математике в общеобразовательной школе на первый план выходит принцип приоритета развивающей функции обучения.

Следовательно, изучение понятия числовой функции в начальной школе является довольно значимым компонентом в формировании математических представлений школьников. Для учителя начальных классов необходимо сделать акцент на изучение этого понятия, так как существует прямая взаимосвязь функции с многими сферами деятельности человека, что в дальнейшем поможет ребятам войти в мир науки.

Кроме того, учащиеся,как правило, формально усваивают определение понятия функции, не имеют целостного представления о функциональной зависимости, т.е. не могут применить свои знания к решению математических и практических задач; связывают функцию исключительно с аналитическим выражением, в котором переменная у выражается через переменную х ; не могут интерпретировать представления о функции на различных моделях; затрудняются при построении графиков функций по ее свойствам и т.д.

Причины этих трудностей связаны не только и не столько с методикой изучения функционального материала в курсе алгебры, сколько с неподготовленностью мышления учащихся к восприятию и усвоению понятия «функция».
А значит, до введения понятия «функция» необходимо вести работу по формированию навыков функционального мышления, чтобы «в момент, когда общая идея функциональной зависимости должна будет войти в сознание учащихся, это сознание было достаточно подготовлено к предметному и действенному, а не только к формальному восприятию нового понятия и связанных с ним представлений и навыков» (А.Я. Хинчин)

1. Числовые функции

1.1 Развитие понятия о функциональной зависимости в математике

Проанализируем ход развития педагогических идей в области преподавания важнейшей составляющей математики - функциональной зависимости.

Функциональная линия школьного курса математики, является одной из ведущих курса алгебры, алгебры и начал анализа. Основной особенностью учебного материала этой линии является то, что с его помощью можно устанавливать разнообразные связи в обучении математике.

В течение нескольких столетий понятие функции изменялось и совершенствовалось. Необходимость изучения функциональной зависимости в школьном курсе математики была в центре внимания педагогической печати уже со второй половины XIX века. Большое внимание этому вопросу уделили в своих работах такие известные методисты, как М. В. Остроградский, В. Н. Шкларевич, С. И. Шохор-Троцкий, В. Е. Сердобинский, В. П. Шереметевский.
Развитие идеи функциональной зависимости шло в несколько этапов:

Первый этап - этап введения понятия функции (в основном, через аналитическое выражение) в школьный курс математики.

Второй этап введения понятия функции в курс алгебры средней школы характеризуется в основном переходом к графическому изображению функциональной зависимости и расширением круга изучаемых функций.

Третий этап развития русской школы начался в 20-е гг. двадцатого столетия. Анализ методической литературы советского периода показал, что введение понятия функции в школьный курс математики сопровождалось бурными дискуссиями, и позволил нам выделить четыре основных проблемы, вокруг которых существовали расхождения во мнениях методистов, а именно:

1) цель и значение изучения понятия функции учащимися;

2) подходы к определению функции;

3) вопрос функциональной пропедевтики;

4) место и объем функционального материала в курсе школьной математики.

Четвертый этап обусловлен переводом экономики РСФСР на плановую основу

В 1934 г. школа получила первый стабильный учебник А. П. Киселева "Алгебра", переработанный под редакцией А. П. Барсукова в двух частях.

В его вторую часть были включены разделы "Функции и их графики", "Квадратичная функция". Кроме того, в разделе "Обобщение понятия степени" рассматривалась показательная функция, ее график, а в разделе "Логарифмы" - логарифмическая функция и ее график.

Именно в ней функция определялась через понятие переменной величины: "Та переменная величина, числовые значения которой изменяются в зависимости от числовых значений другой, называется зависимой переменной, или функцией другой переменной величины". Однако в нём не отражена идея соответствия и нет упоминания об аналитическом выражении, что позволяет нам сделать вывод о существенном недостатке этого определения.
Большое внимание данной проблеме уделял в своих работах И. Я. Хинчин.

Формирование представления о функции ученый расценивал как проявление формализма в преподавании. Он считал, что в средней школе понятие функции необходимо изучать на основе понятия соответствия.

Данный период характеризуется недостаточностью времени на изучение функций, непродуманностью систем упражнений, непониманием учащимися истинной сущности понятия функции, низким уровнем функциональных и графических навыков выпускников школ.

Таким образом, вновь возникла потребность в реформировании преподавания математики в средней школе. Перестройка всей школьной математики на основе теоретико-множественного подхода ознаменовала пятый этап развития идеи функциональной зависимости. Идея, теоретико-множественного подхода была предпринята группой французских ученых, объединившихся под псевдонимом Николя Бурбаки. В г. Роймоне (Франция, 1959 г.) состоялось международное совещание, на котором было провозглашено свержение всех обычных курсов. В центре внимания оказались структуры и объединения всей школьной математики на базе теории множеств.

Важную роль в развитии идей реформы сыграли статьи В. Л. Гончарова, в которых автор указывал на важность ранней и длительной функциональной пропедевтики, предлагал использовать упражнения, заключающиеся в выполнении ряда заранее указанных числовых подстановок в одном и том же заданном буквенном выражении.

Стабилизация программ и учебников создала почву для возникновения положительных сдвигов в качестве функциональных знаний учащихся. В конце шестидесятых - начале семидесятых, наряду с отрицательными отзывами, в печати стали появляться и такие, в которых отмечалось определенное улучшение знаний выпускников школ о функциях и графиках. Однако общий уровень математического развития учащихся в целом оставался недостаточным. В школьном курсе математики по-прежнему неоправданно много времени отводилось формальной подготовке и не уделялось должного внимания развитию способности учащихся самостоятельно учиться.

1. 
   1.2 Способы задания функций

Итак, числовая функция – это соответствие между числовым множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества X соответствует единственное число из множества R.

Соответственно, X представляет область определения функции(ООФ).

Сама функция обозначается строчными буквами латинского алфавита (f, d, e, k).

Если функция f задана на множестве X, то действительное число y, соответствующее числу x из множества X, обозначают как f(x) (y=f(x)).

Переменная x при этом называется аргументом. Множество чисел вида f(x) для всех x при этом называют областью значений функции f .

Чаще всего функции задаются различными видами формул: y=2x+3, y=xІ, y=3xі, y=?3xІ, где x- действительное число, y- соответствующее ему единственное число.

Тем не менее, с помощью одной формулы можно задать множество функций, различие которых определяется лишь областью определения:

Y= 2x-3, где x принадлежит множеству действительных чисел, а y=2x-3,

X- принадлежащий множеству натуральных чисел.

Зачастую, при задании функции с помощью формулы ООФ не указывается (ООФ является областью определения выражения f(x)).

Также числовые функции достаточно удобно представлять наглядно т.е. с помощью координатной плоскости.
1.3 Свойства функции.

Как и многие другие, числовые функции обладают свойствами:

Возрастание, убывание, монотонность, область определения и область значения функции, ограниченность и неограниченность, чётность и нечётность, периодичность.

Область определения и область значений функции .

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел R. Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т. e. она также принимает только действительные значения. Множество X всех допустимых действительных значений аргумента x, при которых функция y = f(x) определена, называется областью определения функции. Множество Y всех действительных значений y, которые принимает функция, называется областью значений функции. Теперь можно дать более точное определение функции: правило (закон) соответствия между множествами X и Y, по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией.

Функция считается заданной, если: задана область определения функции X ; задана область значений функции Y ; известно правило (закон) соответствия, причем такое, что для каждого значения аргумента может быть найдено только одно значение функции. Это требование однозначности функции является обязательным.
Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что | f (x) | M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

Чётная и нечётная функции. Если для любого x из области определения функции имеет место: f (- x) = f (x), то функция называется чётной; если же имеет место: f (- x) = - f (x), то функция называется нечётной. График чётной функции симметричен относительно оси Y (рис.5), a график нечётной функции симметричен относительно начала координат (рис.6).

Периодическая функция. Функция f (x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место: f (x + T) = f (x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.

Но наиболее важным свойством для изучения функции в начальных классах является монотонность .

Монотонная функция . Если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из условия x2 > x1 следует f (x2) > f (x1), то функция | f (x) | называется возрастающей; если для любых x1 и x2 из условия x2 > x1 следует f (x2)
2. Прямая и обратная пропорциональные зависимости.
2.1 Понятие прямой пропорциональной зависимости.

В начальной школе функция проявляется в виде прямой и обратной пропорциональных зависимостей.

Прямая пропорциональность – это, прежде всего, функция, которая может быть задана при помощи формулы y=kx, где k - не равное нулю действительное число. Название функции y = kx связано с переменными x и y,содержащимися в этой формуле. Если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их называют прямо пропорциональными.

K- коэффициент пропорциональности.

Вообще функция y=kx является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых в начальном курсе математики.

Например, допустим, что в одном пакете муки 2 кг, а таких пакетов куплено x, то вся масса купленной муки –y. Это можно записать в виде формулы так: y=2x, где 2=k.
2.2 Свойства прямой пропорциональной зависимости.

Прямая пропорциональность имеет ряд свойств:

• 
  Областью определения функции y=kx является множество действительных чисел R;
• 
  График прямой пропорциональности – прямая, проходящая через начало координат;
• 
  При k>0 функция y=kx возрастает на всей области определения (при k
• 
  Если функция f – прямая пропорциональность, то (x1,y1),(x2,y2) – пары соответственных переменных x и y, где x не равен нулю, значит x1/x2=y1/y2.

x в несколько раз соответствующее ему положительное значение у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

2.3 Понятие обратной пропорциональной зависимости.
Обратная пропорциональность – это функция, которая может быть задана при помощи формулы y=k/x, где k - не равное нулю действительное число. Название функции y = k/x связано с переменными x и y, произведение которых равно некоторому действительному числу, не равному нулю.

Свойства обратной пропорциональной зависимости:

• 
  Областью определения и областью значений функции y=k/x является множество действительных чисел R;
• 
  График прямой пропорциональности – гипербола;
• 
  При k 0, соответственно, убывает на всей области определения, ветви - вниз)
• 
  Если функция f – обратная пропорциональность, то (x1,y1),(x2,y2) – пары соответственных переменных x и y, где x не равен нулю, значит x1/x2=y2/y1.

Если значениями переменных x и y будут положительные действительные числа, то

с увеличением (уменьшением) переменной x в несколько раз соответствующее значение у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Практическая часть
3.1 Функциональная пропедевтика в начальном курсе математики

Понятие функциональной зависимости является одним из ведущих в математической науке, поэтому сформированность этого понятия у учащихся представляет важную задачу в целенаправленной деятельности учителя по развитию математического мышления и творческой активности детей. Развитие функционального мышления предполагает прежде всего развитие способности к обнаружению новых связей, овладению общими учебными приемами и умениями.

В начальном курсе математики значительная роль должна отводиться функциональной пропедевтике, которая предусматривает подготовку учащихся к изучению систематических курсов алгебры и геометрии, а также воспитывает у них диалектический характер мышления, понимание причинных связей между явлениями окружающей действительности. В этой связи обозначим основные направления пропедевтической работы на начальной ступени обучения предмету по программе Л.Г. Петерсон:

Понятие о множествах, о соответствии элементов двух множеств и функциях. Зависимость результатов арифметических действий от изменения компонентов.

Табличный, словесный, аналитический, графический способы задания функции.

Линейная зависимость.

Система координат, первая и вторая координата, упорядоченная пара.

Решение простейших комбинаторных задач: составление и подсчет числа возможных перестановок, подмножеств элементов конечного множества..

Использование систематического перебора натуральных значений одной и двух переменных при решении сюжетных задач.

Заполнение таблиц с арифметическими вычислениями, данными из условий прикладных задач. Выбор данных из таблицы по условию.

Зависимость между пропорциональными величинами; прикладное исследование их графиков.

Содержание начального курса математики позволяет сформировать у учащихся представление об одной из важнейших идей математики - идее соответствия .При выполнении заданий на нахождение значений выражений, заполнение таблиц ученики устанавливают, что каждой паре чисел соответствует не более одного числа, полученного в результате. Однако для осознания этого содержание таблиц необходимо анализировать.

Составь все возможные примеры на сложение двух однозначных чисел с ответом 12.

При выполнении этого задания учащиеся устанавливают взаимосвязь между двумя множествами значений слагаемых. Установленное соответствие - функция, так как каждому значению первого слагаемого соответствует единственное значение второго слагаемого при постоянной сумме.

В вазе 10 яблок. Сколько яблок останется, если возьмут 2 яблока? 3 яблока? 5 яблок? Запиши решение в таблице. От чего зависит результат? На сколько единиц он изменяется? Почему?

В данной задаче фактически представлена функция у = 10 - х , где переменная х принимает значения 2, 3, 5. В результате выполнения данного задания учащиеся должны сделать вывод: чем больше вычитаемое, тем меньше значение разности.

Идея функционального соответствия присутствует и в упражнениях вида:

Соедини стрелкой математические выражения и соответствующие численные значения:

15 + 6 27 35

Введение буквенной символики позволяет познакомить учащихся с важнейшими понятиями современной математики - переменная, уравнение, неравенство, что способствует развитию функционального мышления, поскольку с ними тесно связана идея функциональной зависимости. При работе с переменной школьники осознают, что буквы, входящие в выражение, могут принимать различные числовые значения, а само буквенное выражение является обобщенной записью числовых выражений.

Огромное пропедевтическое значение имеет опыт общения учащихся с упражнениями на установление закономерностей в числовых последовательностях и их продолжение:

1, 2, 3, 4… (у = х + 1)

1, 3, 5, 7… (у = 2 · х + 1)

Понятие величины , наряду с понятием числа, является основным понятием начального курса математики. Материал данного раздела является богатейшим источником для осуществления опосредованной функциональной пропедевтики. Во-первых, это зависимость (обратнопропорциональная) между выбранной единицей величины (меркой) и ее численным значением (мерой) - чем больше мерка, тем число, полученное в результате измерения величины данной меркой, меньше. Поэтому важно, чтобы при работе с каждой величиной учащиеся приобретали опыт измерения величин разными мерками с целью осознанного выбора сначала удобной, а затем и единой мерки.

Во-вторых, при изучении величин, характеризующих процессы движения, работы, купли-продажи формируются представления о зависимости между скоростью, временем и расстоянием, ценой, количеством и стоимостью в процессе решения текстовых задач следующих видов - на приведение к единице (нахождение четвертого пропорционального), нахождение неизвестного по двум разностям, пропорциональное деление.

Особую сложность для учащихся представляет осознание взаимосвязи между этими величинами, поскольку понятие «пропорциональная зависимость» не является предметом специального изучения и усвоения. В программе Л.Г. Петерсон методически эта проблема решается за счет использования следующих приемов:

- Решение задач с недостающими данными («открытым» условием):

Васе от дома до школы 540 м, а Паше - 480 м. Кто ближе живет? Кто быстрее дойдет?

Саша купил на 30 рублей тетради и на 45 рублей карандаши. На покупку каких предметов он истратил денег больше? Каких предметов он купил больше?

Анализируя тексты этих задач, учащиеся обнаруживают, что в них не хватает данных и что ответы на вопросы зависят от цены и скорости.

- Фиксация условия задач не только в таблице (как это предложено в классической методике), но и в виде схемы . Это позволяет «визуализировать» зависимости, рассматриваемые в задаче. Так, если одно и тоже расстояние в 12 км движущиеся объекты проходят за разное время (2 ч, 3 ч, 4 ч, 6 ч), то с помощью схемы наглядно интерпретируется обратная зависимость - чем больше частей (время), тем меньше каждая часть (скорость).

- Изменение одного из данных задачи и сравнение результатов решения задач.

В школьную столовую привезли 48 кг яблок. Сколько ящиков могли привезти, если во всех ящиках яблок было поровну?

Учащиеся дополняют условие задачи и фиксируют зависимость между величинами с помощью различных средств структурирования теоретических знаний - в таблице, схеме и словесно.

Здесь же полезно обратить внимание на кратное отношение рассматриваемых величин - во сколько раз больше одна из величин, во столько же раз больше (меньше) другая при постоянной третьей.

В начальной школе учащиеся в неявном виде знакомятся с табличным, аналитическим, словесным, графическим способами задания функций.

Так, например, зависимость между скоростью, временем и расстоянием можно выразить:

А) словесно: «чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время»;

Б) аналитически: s = v ·t ;

В) таблично: v =5 км/ч

г) графически (с помощью координатного луча или угла).

Графический способ задания зависимости между v , t , s позволяет сформировать представление о скорости как изменении местоположения движущегося объекта в единицу времени (наряду с общепринятым - как расстояния, пройденного в единицу времени) А сравнение графиков движения двух тел (движущихся независимо друг от друга) уточняет представление о скорости как величине, характеризующей быстроту движения.

Составные числовые выражения (со скобками и без них), вычисление их значений по правилам порядка выполнения действий позволяет учащимся осознать, что от порядка выполнения действий зависит результат.

Расставьте скобки так, чтобы получились верные равенства.

20 + 30: 5=10, 20 + 30: 5 = 26

В курсе Л.Г. Петерсон учащиеся в неявном виде знакомятся с линейной зависимостью, как частным случаем функции. Эту функцию можно задать формулой вида у = kх + b, где х - независимая переменная, k и b - числа. Ее областью определения является множество всех действительных чисел.

Пройдя 350 километров, поезд стал идти в течение t часов со скоростью 60 км/ч. Сколько всего километров прошел поезд? (350 + 60 · t )

Выполняя задания с именованными числами, учащиеся осознают зависимость численного значения величин от использования различных единиц измерения.

Один и тот же отрезок измерили сначала в сантиметрах, затем в дециметрах. В первом случае получили число на 135 больше, чем во втором. Какова длина отрезка в сантиметрах? (Зависимость у = 10 · х)

В процессе изучения начального курса математики у учащихся формируется понятие натурального ряда чисел, отрезка натурального ряда, усваиваются свойства натурального ряда чисел - бесконечность, упорядоченность и др., формируется представление о возможности неограниченного увеличения натурального числа или уменьшение его доли.

В курсе математики 3-4 классов значительное внимание уделено обучению учащихся использованию формул , их самостоятельному выводу. Здесь важно научить учащихся представлять одну и ту же информацию в различной форме - графически и аналитически, предоставив школьникам право выбора формы в соответствии с их познавательными стилями.

Значительный интерес у учащихся вызывают задания, связанные с анализом таблиц значений переменных, «открытие» зависимостей между ними и запись в виде формулы.

При анализе чисел, представленных в таблице, учащиеся легко подмечают, что числа первой строки увеличиваются на один, числа второй строки увеличиваются на четыре. Задача учителя - обратить внимание на взаимосвязь значений переменных а и b . В целях усиления прикладной направленности математического образования следует «оживить» данную ситуацию, перевести ее в сюжетный статус.

Чтобы сформировать у учащихся способность к выводу формул, нужно научить их записывать различные утверждения на математическом языке (в виде равенств):

Ручка в три раза дороже карандаша (р = к + 3);

Число а при делении на 5 дает в остатке 2 (а = 5 · b + 2);

Длина прямоугольника на 12 см больше ширины (а = b + 12).

Обязательным условием является обсуждение возможных вариантов значений данных величин с заполнением соответствующих таблиц.

Особое место в курсе Л.Г. Петерсон занимают задания, связанные с математическими исследованиями :

Представь число 16 в виде произведения двух множителей разными способами. Для каждого способа найди сумму множителей. В каком случае получилась меньшая сумма? Проделай это же с числами 36 и 48. Каково предположение?

При выполнении подобных заданий (на исследование зависимости между количеством углов многоугольника и суммарным значением градусных мер углов, между значением периметра различных по форме фигур с одинаковой площадью и пр.) учащиеся совершенствуют навыки работы с таблицей, так как решение удобно фиксировать в таблице. Кроме этого, табличный способ фиксации решения используется при решении нестандартных математических задач методом упорядоченного перебора или рационального подбора.

В классе 13 детей. У мальчиков столько зубов, сколько у девочек пальцев на руках и ногах. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек? (У каждого мальчика ровно 32 зуба).

Обучение математике по программе Л.Г. Петерсон обеспечивает усвоение учащимися взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий, формируется представление о «скорости» изменения результата арифметических действий в зависимости от изменения компонентов :

Упражнения на состав числа;

Частные приемы вычислений (36 + 19 = 35 + 20; 36 - 19 = 37 - 20; 12 · 5 = 12 · 10: 2);

Оценка суммы, разности, произведения, частного.

При выполнении подобных заданий важно представлять информацию многосенсорно.

Как изменится сумма, если одно слагаемое увеличить на 10, а второе уменьшить на 5?

Как изменится площадь прямоугольника (или произведение двух чисел), если одну из сторон (одно из чисел) увеличить на 3?

Значительная часть учащихся выполняет подобные задания методом подстановки конкретных числовых значений. Методически грамотным в данной ситуации будет графически и аналитически интерпретировать условие.

(а + 3) · b = а · b + 3 · b

Понятие функции в старших классах связано с системой координат . В курсе Л.Г. Петерсон содержится материал для пропедевтической работы в этом направлении:

Числовой отрезок, числовой луч, координатный луч;

Таблица Пифагора, координаты на плоскости (координатный угол);

Графики движения;

Круговые, столбчатые и линейные диаграммы, наглядно представляющие зависимость между дискретными величинами.

Итак, изучение арифметических операций, увеличения и уменьшения числа на несколько единиц или в несколько раз, зависимости между компонентами и результатами арифметических действий, решение задач на нахождение четвертого пропорционального, на связь между скоростью, временем и расстоянием; ценой, количеством и стоимостью; массой отдельного предмета, их количеством и общей массой; производительностью труда, временем и работой; и т. д., с одной стороны, лежат в основе формирования понятия функции, а с другой - изучаются на основе функциональных понятий. Следует отметить, что достаточно большое пропедевтическое значение имеет графическое моделирование: графическая интерпретация условия задачи, рисунок, чертеж и другое. Информация, представленная в графической форме, легче для восприятия, емкая и достаточно условная, призвана нести информацию лишь о существенных признаках объекта, формировать графические навыки учащихся.

Кроме этого, результатом пропедевтики функциональной зависимости должна стать высокая умственная активность младших школьников, развитие интеллектуальных, общепредметных и специфических математических умений и навыков. Все это создает прочную основу не только для решения методических проблем начальной математики - формирование вычислительных навыков, умения решать текстовые задачи и др., но и для реализации развивающих возможностей математического содержания и, что не менее важно, для успешного изучения функций в средней школе.

3.2 Решение задач на пропорционально зависимые величины

Решить задачу – это значит через логически верную последовательность действий

и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами,

отношениями выполнить требование задачи (ответить на ее вопрос).

В качестве основных в математике различают арифметические и

алгебраические способы решения задач. При арифметическом способе

ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических

действий над числами.

Различные арифметические способы решения одной и той же задачи отличаются

отношения между данными, данными и неизвестными, данными и искомым,

положенными в основу выбора арифметических действий, или последовательностью

использования этих отношений при выборе действий.

Решение текстовой задачи арифметическим способом – это сложная деятельность,

решающего. Тем не менее, в ней можно выделить несколько этапов:

1. Восприятие и анализ содержания задачи.

2. Поиск и составление плана решения задачи.

3. Выполнение плана решения. Формулировка вывода о выполнении требования

задачи (ответа на вопрос задачи).

4. Проверка решения и устранение ошибок, если они есть.

Задачи на пропорциональное деление вводятся по-разному: можно предложить

для решения готовую задачу, а можно сначала составить ее, преобразовав задачу

на нахождение четвертого пропорционального. В том и другом случае успех решения

задач на пропорциональное деление будет определяться твердым умением решать

задачи на нахождение четвертого пропорционального, поэтому в качестве

подготовки надо предусмотреть решение задач соответствующего вида на нахождение

четвертого пропорционального. Именно поэтому предпочтительней второй из

названных вариантов введения задач на пропорциональное деление.

Переходя к решению готовых задач из учебника, а также задач, составленных

учителем, включающих различные группы величин, сначала надо установить, о каких

величинах идет речь в задаче, затем записать задачу кратко в таблице,

предварительно расчленив вопрос задачи на два вопроса, если в нем есть слово

каждый . Решение, как правило, ученики выполняют самостоятельно, разбор

ведется только с отдельными учениками. Вместо краткой записи можно сделать

рисунок. Например, если в задаче говорится о кусках материи, мотках проволоки и

т.п., то их можно изобразить отрезками, записав соответствующие числовые

значения данных величин. Заметим, что не следует каждый раз выполнять краткую

запись или рисунок, если ученик, прочитав задачу, знает, как ее решить, то

пусть решает, а краткой записью или рисунком воспользуются те, кто затрудняется

решить задачу. Постепенно задачи должны усложняться путем введения

дополнительных данных (например: “В первом куске было 16 м материи, а во втором

в 2 раза меньше.”) или постановкой вопроса (например: “На сколько метров

материи было больше в первом куске, чем во втором?).

При ознакомлении с решением задачи на непропорциональное деление можно иди

другим путем: сначала решить готовые задачи, а позднее выполнить

преобразование задачи на нахождение четвертого пропорционального в задачу на

пропорциональное деление и после их решения сравнить как сами задачи, так и

их решения.

Обобщению умения решать задачи рассмотренного вида помогают упражнения

творческого характера. Назовем некоторые из них.

До решения полезно спросить, на какой из вопросов задачи получится в ответе

большее число и почему, а после решения проверить, соответствую ли этому виду

полученные числа, что явится одним из способов проверки решения. Можно далее

выяснить, могли ли получиться в ответе одинаковые числа и при каких условиях.

Полезны упражнения на составление задач учащимися с последующим решением их,

а также упражнения по преобразованию задач. Это, прежде всего, составление

задач, аналогичных решенной. Так, после решения задачи с величинами: ценой,

количеством и стоимостью – предложить составить и решить похожую задачу с

теми же величинами или с другими, например скоростью, временем и расстоянием.

Это составление задач по их решению, записанному как в виде отдельных

действий, так и в виде выражения, это составление и решение задач по их

краткой схематической записи

1 способ :

Х = 15*30 / 8 = 56 рублей 25 копеек

2 способ : количество сукна увеличилось в 15/8 раза, значит и денег заплатят в 15/8 раза больше

Х =30*15/8 = 56рублей 25копеек

2. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников и спросил, во сколько дней построят они ему двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней построить, и ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо нанять, чтобы построить двор в 5 дней?

На доске записано незаконченное краткое условие:

I вариант: пропорцией

II вариант: без пропорций

I.

II. Х = 20*6 = 120 работников

3. Взяли 560 человек солдат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев, и захотели людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается, сколько человек надо убавить?

Старинная задача.

Решить эту задачу без пропорции:

(Количество месяцев увеличивается в раз, значит количество солдат уменьшается в раз.

560 – 392 = 168 (солдат надо убавить)

В давние времена для решения многих типов задач существовали специальные правила их решения. Знакомые нам задачи на прямую и обратную пропорциональность, в которых по трём значениям двух величин нужно найти четвёртое, назывались задачами на «тройное правило».

Если же для трёх величин, были даны пять значений, и требовалось найти шестое, то правило называлось «пятерным». Аналогично для четырёх величин существовало «семеричное правило». Задачи на применение этих правил назывались ещё задачами на «сложное тройное правило».

4. Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?

Во сколько раз увеличилось число кур? (в 4 раза)

Как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось? (увеличилось в 4 раза)

Во сколько раз увеличилось число дней? (в 4 раза)

Как при этом изменилось число яиц? (увеличилось в 4 раза)

Х = 3*4*4 =48(яиц)

5 . Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобиться писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

(количество писцов увеличивается от увеличения листов в раз и уменьшается

От увеличения дней работы (писцов)).

Рассмотрим более сложную задачу с четырьмя величинами.

6. Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120т фунтов керосина, причём в каждой комнате горело по 4 лампы. Hа сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?

Количество дней пользования керосином увеличивается от увеличения количества керосина в
раз и от уменьшения ламп в раза.

Количество дней пользования керосином уменьшается от увеличения комнат в 20 раза.

Х = 48 * * : = 60 (дней)

Окончательно имеет Х = 60. Это означает, что 125 фунтов керосина хватает на 60 дней.

Заключение

Методическая система изучения функциональной зависимости в начальной школе, разработанная в контексте модульного обучения, представляет собой целостность, составляемую взаимосвязью основных компонентов (целевого, содержательного, организационного, технологического, диагностического) и принципов (модульности, осознанной перспективы, открытости, направленности обучения на развитие личности ученика, разносторонности методического консультирования).

Модульный подход является средством совершенствования процесса изучения функциональной зависимости у учащихся начальной школы, которое позволяет: учащимся - овладевать системой функциональных знаний и способов действий, практических (операционных) умений; учителю - развивать их математическое мышление на основе функционального материала, воспитывать самостоятельность в обучении.

Методическое обеспечение процесса изучения функций в начальной школе строится на основе модульных программ, являющихся основой для выделения фундаментальных закономерностей, обязательных для понимания темы, успешного и полного усвоения содержания учебного материала, приобретения учащимися прочных знаний, умений и навыков.

Список используемой литературы.

1. 
   Демидова Т. Е., Тонких А. П., Теория и практика решения текстовых задач: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. -288 с.
2. 
   Фридман Л. М. Математика: Учебное пособие для учителей и студентов педвузов и колледжей. – М.: Школьная пресса,2002.- 208с.
3. 
   Стойлова Л. П., Пышкало А. М. Основы начального курса математики: Учеб. пособие для учащихся пед. уч – щ по спец. «Преподавание в нач классах общеобразоват. Шк.» - М.: Просвещение,1998. – 320с.
4. 
   Стойлова Л. П. Математика: Учебник для студ. высш. Пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Акакдемия», 1999. – 424с.
5. 
   Пехлецкий И. Д. Математика: Учебник. – 2-е издание стереотипное – М.: Издательский центр «Академия»; Мастерство,2002. – 304 с.
6. 
   Крючкова В. В. Работа над задачами с пропорциональными величинами в развивающем режиме: Методическое пособие для учителей нач. классов: Часть2/ Рязанский областной институт развития образования. Рязань,1996. – 75с.
7. 
   Падун Т. А. Нестандартные задания в курсе начальной математики: Методич. Рекоменд. В помощь учителям начальных классов/ Ряз. Обл. ин – т развития образования. – Рязань,2003 г. – 85с.
8. 
   Глейзер Г. И. История математики в школе: IX – X кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983. – 351с., ил.
9. 
   Дорофеев Г. В. Гуманитарно-ориентированный курс - основа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе // Математика в школе. – 1997. - №4. - С.59-66, с. 59.
10. 
    Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах. / Под ред. М.И. Моро, А.М. Пышкало. - М.: Педагогика, 1977. - 262 с.
11. 
    Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. - М.: Педагогика, 1984. - 301 с.
12. 
    Давыдов В.В. Математика, 3 класс: Учебник для 4-летней начальной школы. - М.: Издательский центр «Академия», 1998. - 212 с.
13. 
    Моро М.И. и др. Математика: Учебник для 3 класса трехлетней начальной школы и 4 класса четырехлетней начальной школы. / Под ред. Калягина Ю.М. - М.: Просвещение, 1997. - 240 с.
14. 
    Петерсон Л.Г. Математика, 3 класс. Ч. 1, 2. Учебник для 4-летней начальной школы. - М.: «Баласс», 2001.