Для всякой логической формулы с помощью тождественных преобразований можно построить бесконечно много равносильных ей формул. В алгебре логики одной из основных задач является поиск канонических форм (т. е. формул, построенных по единому правилу, канону).

Если логическая функция выражена через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание переменных, то такая форма представления называется нормальной.

Среди нормальных форм выделяются совершенные нормальные формы (такие формы, в которых функции записываются единственным образом).

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)

Определение. Формулу называют элементарной конъюнкцией, если она образованна конъюнкцией некоторого числа переменных или их отрицаний.

Примеры: y, ¬ y, х 1 ∧ ¬ х 2 ∧ х 3 ∧ х 4

Определение. Формула называтся дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ), если она является дизъюнкцией неповторяющихся элементарных конъюнкций.

ДНФ записывается в следующей форме: F 1 ∨ F 2 ∨ ... ∨ F n , где F i - элементарная конъюнкция

Примеры: ¬ х 1 ∧ х 2 ∨ х 1 ∧ ¬ х 2 ∨ х 1 ∧ ¬ х 2 ∧ х 3 , ¬ y 1 ∨ y 1 ∧ y 2 ∨ ¬ y 2

Определение. Логическая формула от k переменных называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ), если:
1) формула является ДНФ, в которой каждая элементарная конъюнкция есть конъюнкция k переменных х 1 , х 2 , …, х k , причем на i-м месте этой конъюнкции стоит либо переменная х i , либо ее отрицание;
2) все элементарные конъюнкции в такой ДНФ попарно различны.

Пример: (¬ х 1 ∧ х 2 ∧ х 3) ∨ (х 1 ∧ ¬ х 2 ∧ х 3) ∨ (х 1 ∧ х 2 ∧ ¬ х 3)

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)

Определение. Формулу называют элементарной дизъюнкцией, если она образована дизъюнкцией некоторого числа переменных или их отрицаний.

Примеры: ¬ х 3 , х 1 ∨ х 2 , х 1 ∨ х 2 ∨ ¬ х 3

Определение. Формула называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ), если она является конъюнкцией неповторяющихся элементарных дизъюнкций.

КНФ записывается в следующей форме: F 1 ∧ F 2 ∧ ... ∧ F n , где F i - элементарная дизъюнкция

Примеры: (х 1 ∨ ¬ х 2) ∧ х 3 , (х 1 ∨ х 2) ∧ (¬ х 1 ∨ х 2 ∨ х 3) ∧ (х 1 ∨ ¬ х 2 ∨ ¬ х 3)

Определение. Логическая формула от k переменных называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (КДНФ), если:
1) формула является КНФ, в которой каждая элементарная дизъюнкция есть дизъюнкция k переменных х 1 , х 2 , …, х k , причем на i-м месте этой дизъюнкции стоит либо переменная х i , либо ее отрицание;
2) все элементарные дизъюнкции в такой КНФ попарно различны.

Пример: (х 1 ∨ х 2 ∨ х 3) ∧ (¬ х 1 ∨ ¬ х 2 ∨ х 3)

Заметим, что любую логическую функцию, не равную тождественно 0 или 1, можно представить в виде СДНФ или СКНФ .

Алгоритм построения СДНФ по таблице истинности

1. Выбрать все строки таблицы, в которых значение функции равно единице.
2. Для каждой такой строки записать конъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение некоторой переменной в этом наборе равно 1, то в конъюнкцию включаем саму переменную, в противном случае - ее отрицание.
3. Все полученные конъюнкции связываем операциями дизъюнкции.

Алгоритм построения СКНФ по таблице истинности

1. Выбрать все строки таблицы, в которых значение функции равно нулю.
2. Для каждой такой строки записать дизъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение некоторой переменной в этом наборе равно 0, то в конъюнкцию включаем саму переменную, в противном случае - ее отрицание.
3. Все полученные дизъюнкции связываем операциями конъюнкции.

Анализ алгоритмов показывает, что если на большей части строк таблицы истинности значение функции равно 0, то для получения ее логической формулы лучше построить СДНФ, в противном случае - СКНФ.

Пример: Дана таблица истинности логической функции от трех переменных. Построить логическую формулу, реализующую эту функцию.

Т.к. на большинстве строк таблицы истинности значение функции равно 1, то построим СКНФ. В результате получим следующую логическую формулу:
F = (¬ x ∨ y ∨ z) ∧ (¬ x ∨ y ∨ ¬ z)

Проверим полученную формулу. Для этого построим таблицу истинности функции.

Сравнив исходную таблицу истинности и построенную для логической формулы, заметим, что столбцы значений функции совпадают. Значит, логическая функция построена верно.

Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы алгебры высказываний. Для каждой функции логики высказываний можно составить таблицу истинности. Обратная задача тоже всегда разрешима. Введем несколько определений.

Элементарными конъюнкциями (конъюнктами) называются конъюнкции переменных или их отрицаний, в которых каждая переменная встречается не более

одного раза.

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется формула, имеющая вид дизъюнкции элементарных конъюнкций.

Элементарными дизъюнкциями (дизъюнктами) называются дизъюнкции переменных с отрицаниями или без них.

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется формула, имеющая вид конъюнкции элементарных дизъюнкций.

Для каждой функции алгебры высказываний можно найти множество дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм.

Алгоритм построения ДНФ:

1. Перейти к булевым операциям, используя формулы эквивалентных преобразований.

2. Перейти к формулам с тесными отрицаниями, то есть к формуле, в которой отрицания располагаются не выше, чем над переменными – применить законы де Моргана.

3. Раскрыть скобки – применить законы дистрибутивности.

4. Повторяющиеся слагаемые взять по одному разу – закон идемпотентности.

5. Применить законы поглощения и полупоглощения.

Пример 6. Найти ДНФ формулы: .

В алгебре Буля справедлив принцип двойственности . Он заключается в следующем.

Функция называется двойственной к функции , если . Т.е. для нахождения функции, двойственной к заданной, необходимо построить отрицание функции от отрицаний аргументов.

Пример 7. Найти функцию, двойственную к .

Среди элементарных функций алгебры логики 1 двойственна 0 и наоборот, х двойственна х, двойственна , двойственна и наоборот.

Если в формуле F 1 представляющей функцию все конъюнкции заменить

на дизъюнкции, дизъюнкции на конъюнкции, 1 на 0, 0 на 1, то получим формулу F * , представляющую функцию * , двойственную .

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – двойственное для ДНФ понятие, поэтому ее легко построить по схеме:

Пример 8. Найти КНФ формулы: .

Воспользовавшись результатом примера 6, имеем

Совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная нормальные формы. В каждом из типов нормальных форм (дизъюнктивных и конъюнктивных) можно выделить класс совершенных форм СДНФ и СКНФ.

Совершенной элементарной конъюнкцией называется логическое произведение всех переменных с отрицанием или без них, причем, каждая переменная входит в произведение только один раз.

Всякую ДНФ можно привести к СДНФ расщеплением конъюнкций, которые содержат не все переменные, т.е. добавлением для отсутствующей переменной x i множится с применением закона дистрибутивности

Пример 9. Найти СДНФ для ДНФ примера 6

Совершенной элементарной дизъюнкцией называется логическая сумма всех переменных с отрицаниями или без них, причем, каждая переменная входит в сумму только один раз.

Всякую КНФ можно привести к СКНФ, добавляя член конъюнкции, не содержащий какой – либо переменной X i конъюнкцией и применяя дистрибутивный закон

Пример 10 . Привести КНФ к СКНФ:

Для построения СКНФ можно воспользоваться схемой

Пример 11. Найти СКНФ для формулы примера 6.

Всякая функция имеет СДНФ и, притом, единственную . Каждая функция имеет СКНФ и, притом, единственную .

Т.к. СДНФ и СКНФ определены формулами однозначно, их можно строить по таблице истинности формулы.

Для построения СДНФ необходимо выделить строки, в которых F принимает значение 1 и записать для них совершенные элементарные конъюнкции. Если значение переменной в нужной строке таблицы истинности равно единице, то в совершенном конъюнкте она берется без отрицания, если нулю – то с отрицанием. Затем совершенные конъюнкты (их число равно числу единиц в таблице) соединяются знаками дизъюнкции.

Для построения СКНФ по таблице истинности необходимо выделить в ней строки, где F=0, и записать совершенные элементарные дизъюнкции, после чего соединить их знаками конъюнкции. Если в требуемой строке таблицы истинности (F=0) значение переменной соответствует нулю, то в совершенном дизъюнкте она берется без отрицания, если единице – то с отрицанием.

Пример 12. Найти СДНФ и СКНФ по таблице истинности для формулы примера 6.

В таблице 14 приведено лишь конечное значение F=10101101. В справедливости этого утверждения следует убедиться самостоятельно, построив развернутую таблицу истинности.

Таблица 14

Нормальные формы логических функций Представление булевой функции в форме дизъюнкции конъюнктивных термов конституент единицы Ki 2.7 называется дизъюнктивной нормальной формой ДНФ этой функции. содержат в точности по одной все логические переменные взятые с отрицаниями или без них то такая форма представления функции называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой СДНФ этой функции. Как видно при составлении СДНФ функции нужно составить дизъюнкцию всех минтермов при которых функция принимает значение 1.

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Лекция 1.хх

Нормальные формы логических функций

Представление булевой функции в форме дизъюнкции конъюнктивных термов (конституент единицы) K i

, (2.7)

называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ ) этой функции.

Если все конъюнктивные термы в ДНФ являются минтермами , т. е. содержат в точности по одной все логические переменные, взятые с отрицаниями или без них, то такая форма представления функции называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ ) этой функции. СДНФ называется совершенной , потому что каждый терм в дизъюнкции включает все переменные; дизъюнктивной , потому что главная операция в формуле – дизъюнкция. Понятие “ нормальной формы ” означает однозначный способ записи формулы, реализующей заданную функцию.

С учётом сказанного выше из теоремы 2.1 вытекает следующая теорема.

Теорема 2. Любая булева функция (не равная тождественно 0 ) может быть представлена в СДНФ , .

Пример 3. Пусть имеем таблично заданную функцию f (x 1 , x 2 , x 3 ) (табл. 10).

Таблица 10

На основании формулы (2.6) получаем:

Как видно, при составлении СДНФ функции нужно составить дизъюнкцию всех минтермов, при которых функция принимает значение 1.

Представление булевой функции в форме конъюнкции дизъюнктивных термов (конституент нуля) D i

, (2.8)

называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ ) этой функции.

Если все дизъюнктивные термы КНФ являются макстермами , т. е. содержат в точности по одной все логические переменные функции, взятые с отрицаниями или без них, то такая КНФ называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ ) этой функции.

Теорема 3. Любая булева функция (не равная тождественно 1 ) может быть представлена в СКНФ , причём такое представление единственно .

Доказательство теоремы может быть проведено аналогично доказательству теоремы 2.1 на основании следующей леммы Шеннона о конъюнктивном разложении.

Лемма Шеннона . Любая булева функция f (x 1 , x 2 , …, x m ) от m переменных может быть представлена так :

. (2.9)

Нужно отметить, что обе формы представления логической функции (ДНФ и КНФ) теоретически являются равными по своим возможностям: любую логическую формулу можно представить как в ДНФ (кроме тождественного нуля), так и в КНФ (кроме тождественной единицы). В зависимости от ситуации представление функции в той или иной форме может быть короче.

На практике же чаще всего используется ДНФ , т. к. эта форма является для человека более привычной: с детства ему привычнее складывать произведения, чем умножать суммы (в последнем случае у него интуитивно появляется желание раскрыть скобки и перейти тем самым к ДНФ).

Пример 4. Для функции f (x 1 , x 2 , x 3 ), заданной табл. 10, написать её СКНФ.

В отличие от СДНФ, при составлении СКНФ в таблице истинности логической функции нужно смотреть комбинации переменных, при которых функция принимает значение 0, и составить конъюнкцию соответствующих макстермов, но переменные нужно брать с обратной инверсией :

Нужно отметить, что непосредственно перейти от СДНФ функции к её СКНФ или наоборот невозможно. При попытке таких преобразований получаются функции, обратные по отношению к желаемым. Выражения для СДНФ и СКНФ функции непосредственно можно получить только из её таблицы истинности.

Пример 5. Для функции f (x 1 , x 2 , x 3 ), заданной табл. 10, попробовать перейти от СДНФ к СКНФ.

Используя результат примера 2.3 получим:

Как видно, под общей инверсией получилась СКНФ логической функции, которая является обратной по отношению к функции, полученной в примере 2.4:

т. к. содержит все макстермы, которых нет в выражении для СКНФ рассматриваемой функции.

1. Используя свойства операций (см. табл. 9) тождественность (), сумма по модулю 2 (), импликация (), переходим к операциям И, ИЛИ, НЕ (в базис Буля).

2. Используя свойства отрицания и законы де Моргана (см. табл. 9) добиваемся, чтобы операции отрицания относились только к отдельным переменным, а не к целым выражениям.

3. Используя свойства логических операций И и ИЛИ (см. табл. 9), получаем нормальную форму (ДНФ или КНФ).

4. При необходимости переходим к совершенным формам (СДНФ или СКНФ). Например, для получения СКНФ часто нужно использовать свойство: .

Пример 6. Преобразовать в СКНФ логическую функцию

Выполняя по порядку шаги приведённого выше алгоритма, получим:

Используя свойство поглощения, получим:

Таким образом, мы получили КНФ функции f (x 1 , x 2 , x 3 ). Чтобы получить её СКНФ, нужно каждую дизъюнкцию, в которой не хватает какой-либо переменной, повторить дважды – с этой переменной и с её отрицанием:

2.2.6. Минимизация логических функций

Поскольку одну и ту же логическую функцию можно представить ра з личными формулами, то нахождение наиболее простой фо р мулы, задающей булеву функцию, упрощает логическую схему, реализующую булеву фун к цию. Минимальной формой л о гической функции в некотором базисе можно считать такую, которая содержит минимальное число суперпозиций фун к ций базиса, допуская и скобки. Однако трудно построить эффективный а л горитм такой минимизации с получением минимальной скобочной фо р мы.

Рассмотрим более простую задачу минимизации при синтезе комбинационных схем, при которой ищется не минимальная скобочная форма функции, а её минимальная ДНФ. Для этой задачи существуют простые эффективные алгоритмы.

Метод Квайна

Минимизируемая функция представляется в СДНФ, и к ней применяются все возможные операции неполного склеивания

, (2.10)

а затем поглощения

, (2.11)

и эта пара этапов применяется многократно. Таким образом, удаётся снизить ранг термов. Это процедура повторяется до тех пор, пока не останется ни одного терма, допускающего склеивание с каким-либо другим термом.

Заметим, что левую часть уравнения (2.10) сразу можно было минимизировать более простым и очевидным способом:

Этот способ плох тем, что при такой непосредственной минимизации конъюнктивные термы или исчезают, хотя возможны ещё случаи их использования для склеивания и поглощения с оставшимися термами.

Нужно отметить, что метод Квайна является достаточно трудоёмким, поэтому вероятность допущения ошибок во время преобразований достаточно велик. Но его преимуществом является то, что теоретически его можно использовать для любого числа аргументов и при увеличении количества переменных преобразования усложняются не так сильно.

Метод карт Карно

Метод карт (таблиц) Карно является более наглядным, менее трудоёмким и надёжным способом минимизации логических функций, но его использование практически ограничено функциями 3-4 переменных, максимум – 5-6 переменных.

Карта Карно – это двумерная табличная форма представления таблицы истинности булевой функции, позволяющая в графической наглядной форме легко отыскать минимальные ДНФ логических функций. Каждой клетке таблицы сопоставляется минтерм СДНФ минимизируемой функции, причём так, что любым осям симметрии таблицы соответствуют зоны, взаимно инверсные по какой-либо переменной. Такое расположение клеток в таблице позволяет легко определить склеивающиеся термы СДНФ (отличающиеся знаком инверсии только одной переменной): они располагаются в таблице симметрично.

Таблицы истинности и карты Карно для функций И и ИЛИ двух пер е менных представлены на рис. 8. В каждую клетку карты записывается зн а чение функции на соответствующем этой клетке наборе значений аргуме н тов.

А ) И б ) ИЛИ

Рис. 8. Пример карт Карно для функций двух переменных

В карте Карно для функции И только одна 1, поэтому её ни с чем невозможно склеить. В выражении для минимальной функции будет только терм, соответствующий этой 1:

f = x y .

В карте Карно для функции ИЛИ уже три 1 и можно составить две склеивающиеся пары, при этом 1, соответствующая терму xy , используется дважды. В выражении для минимальной функции нужно записать термы для склеиваемых пар, оставляя в них все переменные, которые для этой пары не меняются, и убирая переменные, которые меняют своё значение. Для горизонтальной склейки получим x , а для вертикальной – y , в итоге получим выражение

f = x + y .

На рис. 9 приведены таблицы истинности двух функций трёх переменных (а ) и их карты Карно (б и в ). Функция f 2 отличается от первой тем, что на трёх наборах переменных она не определена (в таблице это обозначено прочерком).

При определении минимальной ДНФ функции используются следующие правила. Все клетки, содержащие 1, объединяются в замкнутые прямоугольные области, которые называются k -кубами , где k = log 2 K , K – количество 1 в прямоугольной области. При этом каждая область должна представлять собой прямоугольник с числом клеток 2 k , где k = 0, 1, 2, 3, … . Для k = 1 прямоугольник называется один-куб и содержит 2 1 = 2 единицы; для k = 2 прямоугольник содержит 2 2 = 4 единицы и называется два-куб ; при k = 3 область из 2 3 = 8 единиц называется три-куб ; и т. д. Единицы, которые невозможно объединить в прямоугольники, можно назвать ноль-кубами , которые содержат только одну единицу (2 0 = 1). Как видно, при чётном k области могут иметь форму квадрата (но не обязательно), а при нечётном k – только прямоугольников.

Рис. 9. Пример карт Карно для функций трёх переменных

Эти области могут пересекаться, т. е. одни и те же клетки могут входить в разные области. Затем записывается минимальная ДНФ функции как дизъюнкция всех конъюнктивных термов, соответствующих k - кубам.

Каждая из указанных областей на карте Карно представляется в минимальной ДНФ конъюнкцией, число аргументов в которой на k меньше общего числа аргументов функции m , т. е. это число равно m – k . Каждая конъюнкция минимальной ДНФ составляется лишь из тех аргументов, которые для соответствующей области карты имеют значения либо без инверсий, либо только с инверсией, т. е. не меняют своего значения.

Таким образом, при охвате клеток карты замкнутыми областями следует стремиться к тому, чтобы число областей было минимальным, а каждая область содержала возможно большее число клеток, так как при этом будет минимальным число членов в минимальной ДНФ и число аргументов в соответствующей конъюнкции будет минимальным.

Для функции по карте Карно на рис. 9, б находим

поскольку для верхней замкнутой области переменные x 1 и x 2 имеют значения без инверсий, для нижней x 1 имеет значение с инверсией, а x 3 – без инверсии.

Неопредёленные значения в карте на рис. 9, в можно доопределить, заменив нулём или единицей. Для данной функции видно, что оба неопределённых значения выгоднее заменить 1. При этом образуются две области, являющиеся различными видами 2-кубов. Тогда выражение для минимальной ДНФ функции будет следующим:

При построении замкнутых областей допускается сворачивание карты Карно в цилиндр как по горизонтальной, так и по ве р тикальной осям с объединением противоположных граней ка р ты, т. е. единицы, расположенные по краям карты Карно симметри ч но, также могут быть объединены.

Карты Карно можно рисовать разными способами (рис. 10).

а б

Рис. 10. Разные способы изображения карт Карно
для функции 3 переменных

Но самыми удобными вариантами карт Карно для функций 2-4 переменных являются показанные на рис. 11 таблицы, т. к. в них для каждой ячейки показ а ны все переменные в прямом или инверсном виде.

а б

Рис. 11. Наиболее удобное изображение карт Карно
для функций 3 (а ) и 4 (б ) переменных

Для функций 5 и 6 переменных больше подходит способ, показанный на рис. 10, в .

Рис. 12. Изображение карты Карно для функции 5 переменных

Рис. 13. Изображение карты Карно для функции 6 переменных

Нормальная форма логической формулы не содержит знаков импликации, эквивалентности и отрицания неэлементарных формул.

Нормальная форма существует в двух видах:

конъюнктивная нормальная форма (КНФ) -- конъюнкция нескольких дизъюнкций, например, $\left(A\vee \overline{B}\vee C\right)\wedge \left(A\vee C\right)$;

дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) -- дизъюнкция нескольких конъюнкций, например, $\left(A\wedge \overline{B}\wedge C\right)\vee \left(B\wedge C\right)$.

СКНФ

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) -- это КНФ, удовлетворяющая трем условиям:

не содержит одинаковых элементарных дизъюнкций;

ни одна из дизъюнкций не содержит одинаковых переменных;

каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую переменную из входящих в данную КНФ.

Любая булева формула, которая не является тождественно истинной, может быть представлена в СКНФ.

Правила построения СКНФ по таблице истинности

Для каждого набора переменных, при котором функция равна 0, записывается сумма, причем переменные, которые имеют значение 1, берутся с отрицанием.

СДНФ

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) -- это ДНФ, удовлетворяющая трем условиям:

не содержит одинаковых элементарных конъюнкций;

ни одна из конъюнкций не содержит одинаковых переменных;

каждая элементарная конъюнкция содержит каждую переменную из входящих в данную ДНФ, к тому же в одинаковом порядке.

Любая булева формула, которая не является тождественно ложной, может быть представлена в СДНФ, к тому же единственным образом.

Правила построения СДНФ по таблице истинности

Для каждого набора переменных, при котором функция равна 1, записывается произведение, причем переменные, которые имеют значение 0 берут с отрицанием.

Примеры нахождения СКНФ и СДНФ

Пример 1

Записать логическую функцию по ее таблице истинности:

Рисунок 1.

Решение:

Воспользуемся правилом построения СДНФ:

Рисунок 2.

Получим СДНФ:

Воспользуемся правилом построения СКНФ.